Question

已知橢圓C的方程是（a＞b＞0），點A，B分別是橢圓的長軸的左、右端點，
左焦點坐標為（-4，0），且過點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知F是橢圓C的右焦點，以AF為直徑的圓記為圓M，試問：過P點能否引圓M的切線，若能，求出這條切線與x軸及圓M的弦PF所對的劣弧圍成的圖形的面積；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設知a²=b²+16，即橢圓的方程為，由點在橢圓上，知，由此能求出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）由A（-6，0），F（4，0），，知，，所以，以AF為直徑的圓M必過點P，因此，過P點能引出該圓M的切線，設切線為PQ，交x軸于Q點，又AF的中點為M（-1，0），則顯然PQ⊥PM，由此能求出所求的圖形面積．
解答：解：（Ⅰ）因為橢圓C的方程為，（a＞b＞0），∴a²=b²+16，
即橢圓的方程為，∵點在橢圓上，∴，
解得b²=20或b²=-15（舍），由此得a²=36，
所以，所求橢圓C的標準方程為．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-6，0），F（4，0），又，則得，
所以，即∠APF=90°，△APF是Rt△，所以，以AF為直徑的圓M必過點P，因此，過P點能引出該圓M的切線，設切線為PQ，交x軸于Q點，又AF的中點為M（-1，0），則顯然PQ⊥PM，
而，所以PQ的斜率為，
因此，過P點引圓M的切線方程為：，即
令y=0，則x=9，∴Q（9，0），又M（-1，0），
所以，因此，所求的圖形面積是S=S_△PQM-S_扇形MPF=．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．