Question

已知F₁，F₂是橢圓的兩個焦點，在橢圓上滿足

MF1

•

MF2

=0的M點有四個，則橢圓離心率的取值范圍是

（

2

2

，1）

．

Answer 1

分析：由F₁，F₂是橢圓的兩個焦點，在橢圓上滿足

MF1

•

MF2

=0，知，S△F1MF2=b²，設M點縱坐標為h，則h=

b2

c

，由橢圓上滿足

MF1

•

MF2

=0的M點有四個，得

b2

a

＜

b2

c

＜b，由此能求出橢圓離心率的取值范圍．

解答：解：∵F₁，F₂是橢圓的兩個焦點，在橢圓上滿足

MF1

•

MF2

=0，
∴

MF1

⊥

MF2

，
∴∠F₁MF₂=90°，
∴S△F1MF2=b²，
設M點縱坐標為h，則

1

2

×2c×h=b2，
∴h=

b2

c

，
∵橢圓上滿足

MF1

•

MF2

=0的M點有四個，
∴M點與橢圓短軸上的端點不重合，
∴

b2

c

＜b=

bc

c

，
∴b＜c，b²+c²＜2c²，
∵a²=b²+c²，
∴a²＜2c²，∴a＜

2

c，
∵0＜e＜1，
∴

2

2

＜e＜1．
故答案為：（

2

2

，1）．

點評：本題考果橢圓的離心率的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意向量知識的合理運用．