Question

已知函數f（x）=2x²+ax，g（x）=lnx，F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）若F（x）在x=1處取得極小值，求F（x）的極大值；
（Ⅱ）若F（x）在區間上是增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若a=3，問是否存在與曲線y=f（x）和y=g（x）都相切的直線？若存在，判斷有幾條？并加以證明，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出F'（x），因為函數在x=1處取得極值，即得到F'（1）=0，代入求出a與b得到函數解析式，然后討論利用x的取值范圍討論函數的增減性，得到F（x）極大值；
（Ⅱ）對函數F（x）=2x²+ax+lnx進行求導，轉化成F′（x）在（0，）上恒有f′（x）≥0，求出參數a的取值范圍
（Ⅲ）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在，使直線m既是曲線y=f（x）的切線，又是曲線y=g（x）的切線，再利用導數的幾何意義，求出曲線y=g（x）的切線和曲線y=f（x）的切線，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=f（x）+g（x）=2x²+ax+lnx，
∴，又F（x）在x=1處取得極小值
∴F'（1）=4+a+1=0，∴a=-5，F（x）=2x²-5x+lnx
∴

x				1	（1，+∞）
F'（x）	+		-		+
F（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴F（x）的極大值為．
（Ⅱ）由F（x）在區間上是增函數得
當時，恒成立，設
則a≥h（x），又，∴h（x）在上是增函數，
∴a≥h（x）_max，，即實數a的取值范圍為[-5，+∞）．
（Ⅲ）當a=3時，f（x）=2x²+3x，g（x）=lnx，∴f'（x）=4x+3，．
設直線l與曲線y=f（x）和y=g（x）都相切，切點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁=2x₁²+3x₁，y₂=lnx₂
∴l：y-（2x₁²+3x₁）=（4x₁+3）（x-x₁），即y=（4x₁+3）x-2x₁²
又l過點B（x₂，y₂）且f'（x）=g'（x），∴y₂=（4x₁+3）x₂-2x₁²且
∴lnx₂=（4x₁+3）x₂-2x₁²，∴-ln（4x₁+3）=1-2x₁²
方程2x₁²-ln（4x₁+3）-1=0有根，設φ（x）=2x²-ln（4x+3）-1，
則
當時，φ'（x）＜0，φ（x）是減函數，
當時，φ'（x）＞0，φ（x）是增函數，
∴．
又當且x趨向于時，φ（x）趨向于+∞，
∴，
∴φ（x）在區間、上各有一個根．
∴與曲線y=f（x）和y=g（x）都相切的直線存在，有2條．
點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于中檔題．