Question

設F₁、F₂分別為橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點．
（1）若橢圓C上的點A（1，）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）設點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程；
（3）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

Answer 1

解：（1）橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，得2a=4，即a=2．
又點A（1，）在橢圓上，因此b²=3，于是c²=1．
所以橢圓C的方程為，焦點F₁（-1，0），F₂（1，0）．
（2）設橢圓C上的動點為K（x₁，y₁），線段F₁K的中點Q（x，y），∴x₁=2x+1，y₁=2y．
因此．即為所求的軌跡方程．
（3）類似的性質為若MN是雙曲線 -=1上關于原點對稱的兩個點，
點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，
并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值．
設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，-n），
其中 -=1、又設點P的坐標為（x，y），
由k_PM=，k_PN=，
得k_PM•k_PN=•=，
將y²=x²-b²，n²=m²-b²，代入得k_PM•k_PN=．
分析：（1）橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，根據橢圓的定義可得2a=4，即a=2．利用點A（1，）在橢圓上，可求得b²=3，從而可求橢圓C的方程；
（2）先利用中點坐標公式求得動點與F₁K之間坐標關系，利用動點在橢圓上，可求中點的軌跡方程．
（3）設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，-n），進而可知 -=1、又設點P的坐標為（x，y），表示出直線PM和PN的斜率，求的兩直線斜率乘積的表達式，把y和x的表達式代入發現結果與p無關．
點評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的標準方程，考查代入法求軌跡方程，考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．