Question

[理]已知A、B是拋物線(xiàn)y²=4x上兩點(diǎn)，且

OA

•

OB

=0，則原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的最大距離為（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、8

Answer 1

分析：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=my+b，代入拋物線(xiàn)方程消去x，求得y₁+y₁．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂整理可得（m²+1）（-4b）+4m²b+b²=b²-4b=0，求得b的值，再根據(jù)原點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為判斷當(dāng)m=0時(shí)距離最大，進(jìn)而求得答案．

解答：解：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=my+b，代入拋物線(xiàn)方程可得y²-4my-4b=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+b）（my₂+b）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+mb（y₁+y₂）+b²=（m²+1）（-4b）+4m²b+b²=b²-4b=0，
解之得b=4或b=0（舍去），
即直線(xiàn)AB的方程為x=my+4，原點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為d=

4

1+m2

，
當(dāng)m=0時(shí)，d_最大值=4．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)．當(dāng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)聯(lián)立時(shí)，注意用好韋達(dá)定理．