Question

已知函數f（x）=a+

1

2x-1

，
（1）求f（x）的定義域，
（2）是否存在實數a，使f（x）是奇函數？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，令g（x）=x³•f（x），求證：g（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）由分式的分母不等于0直接求解函數的定義域；
（2）函數的定義域關于原點對稱，假設存在實數a使f（x）是奇函數，由奇函數的定義，對于定義域內的任意實數x
f（-x）=-f（x）恒成立，代入函數解析式后整理可求得實數a的值；
（3）把a=

1

2

代入函數f（x）的解析式，把g（x）=x³•f（x）整理后可證明函數函數g（x）為偶函數，再證明當x＞0時g（x）＞0，根據函數是偶函數可得x＜0時g（x）＞0，則問題得證．

解答：（1）解：由2^x-1≠0得：x≠0
∴f（x）的定義域為{x|x≠0}；
（2）解：由于f（x）的定義域關于原點對稱，要使f（x）是奇函數，
則對于定義域{x|x≠0}內任意一個x，都有f（-x）=-f（x）即：a+

1

2-x-1

=-(a+

1

2x-1

)，
整理得：

(2a-1)(2x-1)

2x-1

=0，∴2a-1=0，解得：a=

1

2

，
∴存在實數a=

1

2

，使f（x）是奇函數；
（3）證明：在（2）的條件下，即a=

1

2

，
則g(x)=x3•f(x)=(

1

2

+

1

2x-1

)x3，
g（x）的定義域為{x|x≠0}關于原點對稱，且g（-x）=（-x）³f（-x）=x³f（x）=g（x）
則g（x）為偶函數，其圖象關于y軸對稱．
當x＞0時，2^x＞1，即2^x-1＞0，又2^x+1＞0，x³＞0．
∴g(x)=(

1

2

+

1

2x-1

)x3=

2x+1

2(2x-1)

•x3＞0．
當x＜0時，由對稱性得：g（x）＞0．
綜上：g（x）＞0成立．

點評：本題考查了函數的定義域及其求法，考查了函數奇偶性的判斷，判斷一個函數是否具有奇偶性，首先判斷定義域是否是關于原點對稱，若定義域關于原點對稱，然后用定義判斷，否則，函數為非奇非偶函數，此題是中檔題．