Question

歸納原理分別探求：
（1）凸n邊形的內角和f（n）=

 

；
（2）凸n邊形的對角線條數f（n）=

 

；
（3）平面內n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且任意三個圓不相交于同一點，則該n個圓分平面區域數f（n）=

 

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是歸納推理（1）由三角形的內角和為180°，四邊形的內角和為360°，五邊形的內角和為540°，我們進行歸納推理，易得到結論；（2）我們由三角形有0條對角線，四邊形有2條對角線，五邊形有5條對角線，我們進行歸納推理，易得到結論；（3）我們由兩個圓相交將平面分為4分，三個圓相交將平面分為8分，四個圓相交將平面分為14部分，我們進行歸納推理，易得到結論．

解答：解：（1）∵三角形的內角和為180°，
四邊形的內角和為360°=2×180°，
五邊形的內角和為540°=3×180°
…
故凸n邊形的內角和f（n）=（n-2）180°
（2）∵三角形有0=

3(3-3)

2

條對角線，
四邊形有2=

4(4-3)

2

條對角線，
五邊形有5=

5(5-3)

2

條對角線
…
凸n邊形的對角線條數f（n）=

n(n-3)

2

（3）∵一個圓將平面分為2份
兩個圓相交將平面分為4=2+2份，
三個圓相交將平面分為8=2+2+4份，
四個圓相交將平面分為14=2+2+4+6份，
…
平面內n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且任意三個圓不相交于同一點，則該n個圓分平面區域數f（n）=2+（n-1）n
故答案為：（n-2）180°，

n(n-3)

2

，2+（n-1）n

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．