Question

（2009•寧波模擬）在單位正方體AC₁中，點E、F分別是棱BC、CD的中點．
（Ⅰ）求證：D₁E⊥平面AB₁F；
（Ⅱ）求三棱錐E-AB₁F的體積；
（Ⅲ）設直線B₁E、B₁D₁與平面AB₁F所成的角分別為α、β，求cos（α+β）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）線根據其為正方體可得AB₁⊥D₁E以及AF⊥D₁D；再根據Rt△ADF與Rt△DCE全等得到AF⊥DE；可證AF⊥平面D₁DE進而得AF⊥D₁E，即可證明結論成立．
（Ⅱ）先求出三角形AEF的面積，再根據體積相等把所求問題轉化為VB 1-AEF即可．
（Ⅲ）先根據DE⊥平面AB₁F得到∠EB₁D₁=α+β；再分兩部分求，先求出兩個角的三角函數值，再由余弦的和角公式求解即可．

解答：（Ⅰ）證明：在正方體AC₁中，連A₁B，D₁C．
AB₁⊥平面A₁BCD₁，D₁E?平面A₁BCD₁⇒AB₁⊥D₁E…（2分）
連接DE，則Rt△ADF與Rt△DCE全等⇒AF⊥DE
D₁D⊥平面ABCD
AF?平面ABCD⇒AF⊥D₁D
DE∩D₁D=D
⇒AF⊥平面D₁DE⇒AF⊥D₁E
又AB₁∩AF=A，故D₁E⊥平面AB₁F．     …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，E為棱BC的中點．
∴S_AEF=

3

8

，
∴VE-AB 1F=VB 1-AEF=

1

3

S_△AEF•B₁B=

1

3

×

3

8

×1=

1

8

．…（9分）
（Ⅲ）∵DE⊥平面AB₁F
∴∠EB₁D₁=α+β…（11分）
在△EB₁D₁中，B₁E=

5

2

，D₁E=

3

2

，B₁D₁=

2

．
∴os（α+β）=

B1E2+B1D12-D 1E2

2B1E•B1 D1

=

5 4 +2- 9 4

2× 5 2 × 2

=

10

10

．…（14分）

點評：本題主要考查線面垂直的證明以及線面所成的角的求法．在證明線面垂直時，一般先證明線線垂直，得到線面垂直．