Question

已知正四棱錐P—ABCD的底面邊長和各側棱長都是13，M、N分別是PA、BD上的點，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8．

(1)求證：MN∥平面PBC；

(2)求直線MN與平面ABCD所成角的正弦值．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：如圖，連結AN并延長交BC于E，連結PE，∵AD∥BC， ∴△AND∽△BNE， ∴EN∶AN=BN∶ND． 又BN∶ND=PM∶MA， ∴EN∶AN∶PM∶MA． ∴MN∥PE． 又PE平面PBC，∴MN∥平面PBc． (2)解：由(1)知MN∥PE， ∴PE與平面ABCD所成的角即MN與平面AC所成的角． 設底面中心為O，連結PO，則PO⊥面AC，連結OE，則∠PEO為PE與底面AC所成角， PO==． ∵BE∶AD=BN∶ND=5∶8，∴BE=AD=． 又在△PBE中，由余弦定理得PE=， ∴在Rt△POE中，sinPEO==．  < /p>