Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bc+c（a，b，c∈R），若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，0]上是單調(diào)減函數(shù)，則a²+b²的最小值為（　　）

• A．

  4

  5

• B．

  7

  5

• C．

  9

  5

• D．

  11

  5

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)在區(qū)間[-1，0]上是單調(diào)遞減，可得f′（x）≤0在[-1，0]上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到f′（-1）≤0且f′（0）≤0，由此得到關(guān)于a、b的不等式組，在aob坐標(biāo)系中，a²+b²可視為平面區(qū)域內(nèi)的點到原點的距離的平方，結(jié)合點到直線的距離公式即求出a²+b²的最小值．

解答：解：依題意，可得f′（x）=3x²+2ax+b≤0在區(qū)間[-1，0]上恒成立．
∵y=f′（x）的圖象是開口向上的拋物線
∴只需

f′(-1)≤0  f′(0)≤0

即可，即

3-2a+b≤0  b≤0

，
而a²+b²可視為平面區(qū)域

3-2a+b≤0  b≤0

內(nèi)的點到原點的距離的平方，
由點到直線的距離公式，可得（d²）=（

3

5

）²=

9

5

，
∴a²+b²的最小值為

9

5

．
故選：C

點評：本題給出導(dǎo)數(shù)問題，求a²+b²的最小值．著重考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．