Question

已知函數(shù)f(x)=2cos2(

π

4

-x)-

3

cos2x-1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若A={y|y=f(x)，x∈[

π

4

，

π

2

]}，不等式|x-m|＜3的解集為B，A∩B=A，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、誘導公式、兩角差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，通過正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）通過（1）根據(jù)x的范圍求出集合A，利用A∩B=A，求出集合B，得到不等式組，求出m的范圍即可．

解答：解：（1）f(x)=1+cos(

π

2

-2x)-

3

cos2x-1=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)，…（5分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

解得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
∴f（x）在區(qū)間[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z上單調(diào)遞增．…（8分）
（2）A={y|y=f(x)，x∈[

π

4

，

π

2

]}，不等式|x-m|＜3的解集為B，A∩B=A，
x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，∴A=[1，2]，
又解得B=（m-3，m+3）…（12分）
而A∩B=A⇒A⊆B∴

m-3＜1 m+3＞2

，得-1＜m＜4…（16分）．

點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，二倍角公式兩角差的正弦函數(shù)的應用，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想．