Question

雙曲線=1（a＞1，b＞0）的焦點(diǎn)距為2c，直線l過點(diǎn)（a，0）和（0，b），且點(diǎn)（1，0）到直線l的距離與點(diǎn)（-1，0）到直線l的距離之和．求雙曲線的離心率e的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：直線l的方程是bx+ay-ab=0．點(diǎn)（1，0）到直線l的距離，點(diǎn)（-1，0）到直線l的距離，．由知．所以4e⁴-25e²+25≤0．由此可知e的取值范圍．
解答：解：直線l的方程為，即bx+ay-ab=0．
由點(diǎn)到直線的距離公式，且a＞1，得到點(diǎn)（1，0）到直線l的距離，
同理得到點(diǎn)（-1，0）到直線l的距離．
由，即．
于是得，即4e⁴-25e²+25≤0．解不等式，得．
由于e＞1＞0，
所以e的取值范圍是．
點(diǎn)評：本題主要考查點(diǎn)到直線距離公式，雙曲線的基本性質(zhì)以及綜合運(yùn)算能力．