Question

已知f(x)=

a

•

b

-1，其中向量

a

=(sin2x，2cosx)，

b

=(

3

，cosx)，（x∈R）．
（1） 求f（x）的最小正周期和最小值；
（2） 在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f(

A

4

)=

3

，a=2

13

，b=8，求邊長c的值．

Answer 1

分析：先利用向量的數量積的坐標表示及輔助角公式對函數整理可得，f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（1）利用周期公式T=

2π

ω

 可求ω，觀察函數可知最小值-2
（2）由f(

A

4

)=

3

代入整理可得，sin（

A

2

+

π

6

）=

3

2

，從而可求A，然后利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA可求c的值．

解答：解：∵（1）f（x）=

a

•

b

-1=（sin2x，2cosx）•（

3

，cosx）-1
=

3

sin2x+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
∴f（x）的最小正周期為π，最小值為-2
（2）f（

A

4

）=2sin（

A

2

+

π

6

）=

3

∴sin（

A

2

+

π

6

）=

3

2

∴

A

2

+

π

6

=

π

3

∴A=

π

3

或A=π（舍去）
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
52=64+c²-8c即c²-8c+12=0
從而c=2或c=6

點評：本題以向量的數量積的坐標表示為切入點，考查了輔助角 asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)把函數化為一個角的三角函數，進而可以借助于該函數研究函數的相關性質，還考查了由三角函數值求角及由余弦定理求解三角形等知識的綜合運用．