Question

已知點P是圓x²+y²=1上任意一點，過點P作y軸的垂線，垂足為Q，點R滿足，記點R的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設A（0，1），點M、N在曲線C上，且直線AM與直線AN的斜率之積為，求△AMN的面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據，確定P，R坐標之間的關系，利用點P是圓x²+y²=1上任意一點，可得點R的軌跡方程；
（Ⅱ）（1）當直線MN的斜率不存在時，不合題意；
（2）當直線MN的斜率存在時，確定直線MN過定點T（0，-3），再計算△AMN的面積，利用換元法，借助于基本不等式，即可求得△AMN的面積的最大值．
解答：解：（I）設R（x，y），P（x，y），則Q（0，y）．
∵，∴，
∵點P是圓x²+y²=1上任意一點，
∴，
∴點R的軌跡方程：．…（6分）
（Ⅱ）（1）當直線MN的斜率不存在時，設MN：．
則，，∴，不合題意．…（7分）
（2）當直線MN的斜率存在時，設l_MN：y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯立方程，得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0．
∴△=12（3k²-b²+1）＞0，，．…（9分）
又，
即．
將，代入上式，得b=-3．
∴直線MN過定點T（0，-3）．…（11分）
∴=．…（13分）
令，即3k²=t²+8，∴．
當且僅當t=3時，．…（15分）
點評：本題考查軌跡方程的求解，考查三角形的面積，解題的關鍵是利用代入法求軌跡方程，構建面積函數，利用基本不等式求最值．