Question

已知函數f（x）=x²-（a+2）x+alnx，（a∈R）
（1）求函數的單調區間與極值點；
（2）若a=4，方程f（x）-m=0有三個不同的根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對已知函數進行求導，令導數等于0，求出極值點，討論極值點的大小，利用導數研究函數的單調區間與極值點；
（2）把a=4代入f（x），根據方程f（x）-m=0有三個不同的根，即f（x）=m，有三個解，說明m處在f（x）的最大值和最小值之間，從而進行求解；

解答：解：（1）f′（x）=2x+

a

x

-（a+2）=

(x-1)(2x-a)

x

，
令f′（x）=0得x=1或

a

2

，
當

a

2

≤0即a≤0時，x∈（0，1），遞增區間為（1，+∞）；
極小值點為1，無極大值點，
當0＜

a

2

＜1即0＜a＜2時，x∈（0，

a

2

）時，f′（x）＞0；
x∈（

a

2

，1）時，f′（x）＜0；
x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0；
∴f（x）的減區間為：（

a

2

，1），遞增區間為（0，

a

2

）和（1，+∞）；極小值點為1，極大值點為

a

2

；
當

a

2

＞1即a＞2時，x∈（0，1）時，f′（x）＞0；
x∈（1，

a

2

）時，f′（x）＜0；
x∈（

a

2

，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的遞減區間為（1，

a

2

），遞增區間（0，1）和（

a

2

，+∞）；極小值點

a

2

，極大值點為1；
當

a

2

=1時，即a=2時，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）遞增，無減區間，無極值點．
（2）當a=4時，f（x）-m=0即f（x）=m，
由（1）可知，x∈（0，1）時，f（x）遞增，x∈（1，2）時，f（x）遞減，
x∈（2，+∞）時，f（x）遞增；
極大值f（1）=-5，極小值f（2）=4ln2-8，
要使f（x）-m=0有三個不同的根，則4ln2-8＜m＜-5；

點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性，第一問思路簡單，但是討論情況多比較復雜，第二問就比較簡單了，利用數形結合的方法也很容易解決，是一道中檔題；