Question

以坐標軸為對稱軸、漸近線互相垂直、兩準線間距離為2的雙曲線方程是

 

．

Answer 1

分析：首先根據焦點在不同的坐標軸上分別設出雙曲線的方程，然后由焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x，準線方程為x=±

a2

c

，焦點在y軸上的雙曲線的方程為y=±

a

b

x，準線方程為y=±

a2

c

，且均有性質c²=a²+b²，則列出方程組分別解之即可．

解答：解：若雙曲線的焦點在x軸上，設其方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
因為它的漸近線方程為y=±

b

a

x，準線方程為x=±

a2

c

，
所以

- b a • b a =-1 a2 c =1 c2=a2+b2

，解得a²=b²=2，
所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為

x2

2

-

y2

2

=1；
同理設焦點在y軸上的雙曲線的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1，
則

- a b • a b =-1 a2 c =1 c2=a2+b2

，解得a²=b²=2，
所以焦點在y軸上的雙曲線的方程為

y2

2

-

x2

2

=1．
因此滿足要求的雙曲線的方程為

x2

2

-

y2

2

=1或

y2

2

-

x2

2

=1．
故答案為

x2

2

- 

y2

2

=1或

y2

2

-

x2

2

=1．

點評：本題主要考查焦點在不同坐標軸上的雙曲線的標準方程及性質，同時考查解方程組的能力．