Question

【題目】如圖所示，某街道居委會擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個活動中心，其中AE=30米．活動中心東西走向，與居民樓平行．從東向西看活動中心的截面圖的下部分是長方形ABCD，上部分是以DC為直徑的半圓．為了保證居民樓住戶的采光要求，活動中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長GE不超過2.5米，其中該太陽光線與水平線的夾角θ滿足 ．
（1）若設計AB=18米，AD=6米，問能否保證上述采光要求？
（2）在保證上述采光要求的前提下，如何設計AB與AD的長度，可使得活動中心的截面面積最大？（注：計算中π取3）

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示，以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系．

因為AB=18，AD=6，所以半圓的圓心為H（9，6），

半徑r=9．設太陽光線所在直線方程為 ，

即3x+4y﹣4b=0，

則由 ，

解得b=24或 （舍）．

故太陽光線所在直線方程為 ，

令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．

所以此時能保證上述采光要求

（2）解：設AD=h米，AB=2r米，則半圓的圓心為H（r，h），半徑為r．

方法一：設太陽光線所在直線方程為 ，

即3x+4y﹣4b=0，由 ，

解得b=h+2r或b=h﹣2r（舍）

故太陽光線所在直線方程為 ，

令x=30，得 ，由 ，得h≤25﹣2r

所以 = ．

當且僅當r=10時取等號．

所以當AB=20米且AD=5米時，可使得活動中心的截面面積最大

方法二：欲使活動中心內部空間盡可能大，則影長EG恰為2.5米，則此時點G為（30，2.5），

設過點G的上述太陽光線為l1，則l1所在直線方程為y﹣ =﹣ （x﹣30），

即3x+4y﹣100=0

由直線l1與半圓H相切，得 ．

而點H（r，h）在直線l1的下方，則3r+4h﹣100＜0，

即 ，從而h=25﹣2r

又 = ．

當且僅當r=10時取等號．

所以當AB=20米且AD=5米時，可使得活動中心的截面面積最大

【解析】（1）以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系．設太陽光線所在直線方程為 ，利用直線與圓相切，求出直線方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出結論；（2）方法一：設太陽光線所在直線方程為 ，利用直線與圓相切，求出直線方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面積最大； 方法二：欲使活動中心內部空間盡可能大，則影長EG恰為2.5米，即可求出截面面積最大