Question

設函數y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數，并且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（

1

3

）=1；
（1）求f（1）、f（3）的值．
（2）如果f（x+2）+f（x-2）≥-2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）采用賦值法，令x=y=1可求得f（1），同理可求得f（3）的值．
（2）利用函數y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數，與f（xy）=f（x）+f（y），將f（x+2）+f（x-2）≥-2轉化為關于x的一元二次不等式，解之即可．

解答：解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），x，y∈（0，+∞），
∴令x=y=1得：f（1）=2f（1），
∴f（1）=0；
∵f（

1

3

）=1，
∴f（1）=f（3×

1

3

）=f（3）+f（

1

3

）=0，
∴f（3）=-f（

1

3

）=-1．
（2）∵f（3）=-1，f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（3×3）=f（3）+f（3）=-2．
∵f（x+2）+f（x-2）≥-2=f（9），
函數y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數，
∴（x+2）（x-2）≤9且x+2＞0，x-2＞0同時成立．
解得：2＜x≤

13

．
∴x的取值范圍是（2，

13

]．

點評：本題考查抽象函數及其應用，考查奇偶性與單調性的綜合應用，考查解不等式的能力，屬于中檔題．