Question

已知集合M={x|

(x-4)(x+2)

(x-7)(x+1)

＜0}，集合N={x|2

ax

＞3a-x，a＜0}，求集合T={a|M∩N≠∅}．

Answer 1

分析：根據集合M中的不等式，畫出相應的圖形，根據圖形得出不等式的解集，確定出集合M；集合N中的不等式，若3a-x大于等于0時，兩邊平方，整理后不等式左邊分解因式，根據兩數相乘同號得正、異號得負的取符號法則得出不等式的解集，若3a-x小于0，只需保證被開方數大于0即可，由a小于0，得到x小于0，得出x的范圍，即為不等式的解集，綜上，得到原不等式的解集，確定出集合N，由M與N的交集不為空集，列出關于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范圍，即可確定出集合T．

解答：解：由集合M中的不等式

(x-4)(x+2)

(x-7)(x+1)

＜0，
畫出相應的圖形，如圖所示：

由圖形可得集合M={x|-2＜x＜-1或4＜x＜7}；
集合N中的不等式2

ax

＞3a-x，
當3a-x≥0，即x≤3a時，
兩邊平方得：4ax＞（3a-x）²，即（x-9a）（x-a）＜0，
解得：9a＜x＜a，
此時不等式的解集為9a＜x≤3a，
當3a-x＜0，即x＞3a時，此時x＜0，不等式恒成立，
此時不等式的解集為3a＜x＜0，
綜上，集合N={x|9a＜x＜0，a＜0}，
∵M∩N≠∅，
∴9a＜-1，即a＜-

1

9

，
則集合T={a|a＜-

1

9

}．

點評：此題考查了一元二次不等式的解法，以及交集、空集的意義，利用了轉化、分類討論及數形結合的思想，學生做題時應借助圖形，注意根據題意對區間端點作出合理的取舍，進而列出滿足題意的關于a的不等式．