Question

已知向量

m

=(sin

A

2

，-1)，

n

=(2，cos(B+C))，A，B，C為銳角△ABC的內角，其對應邊為a，b，c．
（Ⅰ）當

m

•

n

取得最大值時，求角A的大小；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的條件下，當a=

3

時，求b²+c²的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據向量數量積的公式，化簡得

m

•

n

=cosA+2sin

A

2

，結合二倍角的余弦公式化簡得

m

•

n

=-2（sin

A

2

-

1

2

）²+

3

2

，利用二次函數的性質可得

m

•

n

取得最大值時，sin

A

2

=

1

2

，結合A為三角形的內角算出A=

π

3

；
（II）由A=

π

3

且a=

3

，利用余弦定理化簡得b²+c²-bc=3，根據基本不等式bc≤

1

2

（b²+c²），算出b²+c²≤6．在根據三角形中b+c＞a，即可得出b²+c²的取值范圍．

解答：解：（I）∵向量

m

=(sin

A

2

，-1)，

n

=(2，cos(B+C))，
∴

m

•

n

=2sin

A

2

-cos（B+C）
=cosA+2sin

A

2

=-2sin²

A

2

+2sin

A

2

+1=-2（sin

A

2

-

1

2

）²+

3

2

因此，當

m

•

n

取得最大值時，sin

A

2

=

1

2

，
結合A為三角形的內角，可得

A

2

=

π

6

，得A=

π

3

；
（II）在（Ⅰ）成立的條件下，A=

π

3

∵a=

3

，∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得b²+c²-bc=3
因此，b²+c²-3=bc≤

1

2

（b²+c²），可得b²+c²≤6
當且僅當b=c=

3

時，等號成立
又∵△ABC中，b+c＞a
∴3＜b²+c²≤6，即b²+c²的取值范圍（3，6]．

點評：本題給出向量含有三角函數式的坐標，求角A的大小并求b²+c²的取值范圍，著重考查了向量數量積的坐標公式、余弦定理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．