Question

已知函數f（x）=x²-2ax+1．
（1）若函數f（x）在區間（0，1）和（1，3）上各有一個零點，求a的取值范圍；
（2）若函數在區間[-1，2]上有最小值-1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）若函數f（x）在區間（0，1）和（1，3）上各有一個零點，故有

f(0)＞0 f(1)＜0 f(3)＞0

，解不等式組求出a的取值范圍．
（2）由于二次函數的對稱軸為x=a，分a＜-1、-1≤a≤2、a＞2三種情況，分別根據最小值求出a的值，取并集，即得所求．

解答：解：（1）若函數f（x）在區間（0，1）和（1，3）上各有一個零點，故有

f(0)＞0 f(1)＜0 f(3)＞0

，
即

1＞0 1-2a+1＜0 9-6a＞0

，解得 0＜a＜

5

3

．
故a的取值范圍為（0，

5

3

）．
（2）若函數在區間[-1，2]上有最小值-1，由于函數的對稱軸為x=a，
當a＜-1時，函數f（x）在區間[-1，2]上是增函數，最小值為f（-1）=1+2a+1=-1，解得a=-

3

2

．
當-1≤a≤2時，函數f（x）在區間[-1，2]上先減后增，最小值為f（a）=-a²+1=-1，解得a=

2

 或-

2

（舍去）．
當a＞2時，函數f（x）在區間[-1，2]上是減函數，最小值為f（2）=5-4a=-1，解得a=

3

2

（舍去）．
綜上，a的值為-

3

2

 或

2

．

點評：本題考查函數零點的判定定理，求二次函數在閉區間上的最值的方法，屬于中檔題．