Question

15．已知四面體A-BCD中，△ABC和△BCD都是邊長為6的正三角形，則當四面體的體積最大時，其外接球的表面積是（　　）

• A． 60π
• B． 30π
• C． 20π
• D． 15π

Answer 1

分析 當四面體的體積最大時，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中點分別為E，F，連接EF，AF，DF，求出EF，判斷三棱錐的外接球球心O在線段EF上，連接OA，OC，求出半徑，然后求解三棱錐的外接球的表面積．

解答 解：當四面體的體積最大時，平面ABC⊥平面BCD，
取AD，BC中點分別為E，F，連接EF，AF，DF，
由題意知AF⊥DF，AF=CF=3$\sqrt{3}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
易知三棱錐的外接球球心O在線段EF上，
連接OA，OC，有R²=AE²+OE²，R²=DF²+OF²，
∴R²=（$\frac{3\sqrt{6}}{2}$）²+OE²，R²=3²+（$\frac{3\sqrt{6}}{2}$-OE）²，
∴R=$\sqrt{15}$，
∴三棱錐的外接球的表面積為4πR²=60π．
故選A．

點評 本小題主要考查球的內接幾何體的相關計算問題，對考生的空間想象能力與運算求解能力以及數形結合思想都提出很高要求，本題是一道綜合題．