Question

已知方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0表示圓C．
（Ⅰ）求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）在已知方程表示的所有圓中，能否找到圓C₁，使得圓C₁經(jīng)過點P（2，1），Q（4，-1）兩點，且與圓x²+y²-4x-5=0相切？說出理由．

Answer 1

分析：（I）將圓C方程化成標準形式得（x-2）²+（y+m）²=-m²+2m+3，因此若方程表示圓則-m²+2m+3＞0，解之得即可得到實數(shù)m的取值范圍；
（II）將點P、Q的坐標代入圓C的方程解出m=1，從而得到圓心C₁（2，-1）且徑R₁=2．算出圓x²+y²-4x-5=0的圓心為C₂（2，0）且半徑R₂=3，算得|C₁C₂|=1=R₂-R₁，故圓C₁與圓C₂相內(nèi)切，因此可得存在滿足條件的圓C₁．

解答：解：（I）將方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0化成標準形式，得
（x-2）²+（y+m）²=-m²+2m+3
∵方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0表示圓C．
∴-m²+2m+3＞0，解之得-1＜m＜3
（II）若點P、Q在圓C上，則

22+12-4×2+2m+2m2-2m+1=0 42+(-1)2-4×4-2m+2m 2-2m+1=0

，解之得m=1
∴圓C的標準方程為（x-2）²+（y+1）²=4
圓心為C₁（2，-1），半徑R₁=2
又∵圓C₂：x²+y²-4x-5=0的圓心為C₂（2，0），半徑R₂=3，圓心距|CC₂|=1
∴圓心距|C₁C₂|=1=R₂-R₁，故圓C₁與圓C₂相內(nèi)切
因此存在點C₁（2，-1），使圓C₁與圓x²+y²-4x-5=0相切．

點評：本題給出含有參數(shù)m的圓方程，求參數(shù)m的取值范圍并探索與已知圓相切的圓是否存在．著重考查了圓的標準方程和圓與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．