Question

【題目】已知數列{an}前n項和為Sn ， 首項為a1 ， 且 ，an ， Sn成等差數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）數列{bn}滿足bn=（log2a3n+1）×（log2a3n+4），求證： + + +…+ ＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，an，Sn成等差數列，∴2an= ，

當n=1時，2a1= ，解得a1= ．

當n≥2時，2an﹣2an﹣1= ﹣ =an，化為：an=2a．

∴數列{an}是等比數列，首項為 ，公比為2．∴an= =2n﹣2

（2）證明：bn=（log2a3n+1）×（log2a3n+4）= log2（3n+2）=（3n﹣1）（3n﹣2），

∴ = = ．

∴ + + +…+ = +…+ = ＜ ．

【解析】（1）由 ，an ， Sn成等差數列，可得2an= ，當n=1時，2a1= ，解得a1 ． 當n≥2時，2an﹣2an﹣1=an ， 化為：an=2a．利用等比數列的通項公式即可得出．（2）bnspan>= log2（3n+2）=（3n﹣1）（3n﹣2），可得 = = ．利用“裂項求和”方法、數列的單調性即可證明．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．