Question

定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足：對任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1，且當0＜x＜1時，都有f（x）＞1成立．
（1）判斷并證明f（x）在定義域（0，+∞）上的單調性；
（2）若f（9）=7，解不等式：f（x²+2x）＞4

Answer 1

分析：（1）抽象函數的單調性的證明，需要特別的構造方法，本題中的特點是含有f（xy），因此在設出0＜x₁＜x₂之后想到
構造出：0＜

x1

x2

＜1，可應用已知得到f(

x1

x2

)＞1，下面的證明過程就很自然了．
對于（2）的抽象不等式的解法，是想法脫去函數符號“f”，而利用（1）的結論很容易做到，轉化得出一個不等式，進而解之即可．

解答：解：（1）函數f（x）在定義域（0，+∞）上是一個減函數．證明如下：
     設0＜x₁＜x₂，則 0＜

x1

x2

＜1，于是有：f(

x1

x2

)＞1
      f（x₁）=f(x2•

x1

x2

)=f（x₂）+f(

x1

x2

)-1＞f（x₂）+1-1=f（x₂）
      即：f（x₁）＞f（x₂）．
      由函數的單調性定義可知：函數f（x）在定義域（0，+∞）上是一個減函數．
（2）由已知，f（3×3）=f（3）+f（3）-1=7，即得：f（3）=4，因此有
     f（x²+2x）＞4=f（3），又有（1）的結論以及函數f（x）的定義域為（0，+∞），得不等式組：
    

x2+2x＞0 3＞0 x2+2x ＜3

，解得：-3＜x＜-2或0＜x＜1
所以：（1）數f（x）在定義域（0，+∞）上是一個減函數
          （2）不等式f（x²+2x）＞4的解集為：{x|-3＜x＜-2或0＜x＜1}

點評：本題考查抽象函數的概念及其應用，抽象函數單調性的證明，抽象函數不等式的解集的求法．
考查了構造函數以及函數值的賦值法即函數特值的應用技巧．