Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側(cè)面ACC₁A₁與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2

3

，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）試判斷A₁A與平面A₁BC是否垂直，并說明理由；
（2）求側(cè)面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：法一：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量，利用數(shù)量積=0判定A₁A與平面A₁BC是否垂直；
（2）利用平面的法向量的數(shù)量積求側(cè)面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值．
法二：（1）利用反證法證明A₁A與平面A₁BC不垂直；
（2）利用三垂線定理，作出二面角的平面角，然后求解即可．

解答：解：解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
（1）有條件知B(0，0，0)，C(0，2，0)，A(2

2

，0，0)，（1分）
由面ACC₁A₁⊥面ABC，AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，知A1(

2

，1，

3

)（2分）

AA1

=(-

2

，1，

3

)，

BC

=(0，2，0)，
∵

AA1

•

BC

=2≠0（3分）
∴

AA1

與

BC

不垂直，即AA₁與BC不垂直，
∴AA₁與平面A₁BC不垂直（5分）

（2）由ACC₁A₁為平行四邊形，
知

CC1

=

AA1

=(-

2

，1，

3

)（7分）
設(shè)平面BB₁C₁C的法向量

n

=(x1，y1，z1)，
由

n1 ⊥ BC n1 ⊥ CC1

，得

n1 • BC =0 n1 • CC1 =0

，即

2y1=0 - 2 x1+y1+ 3 z1=0

令x1=

3

，則y1=0，z1=

2

，得

n1

=(

3

，0

2

)（9分）
另外，平面ABC的法向量

n2

=（0，0，1）（10分）
cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

5

=

10

5

所以側(cè)面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值為

10

5

（12分）

解法二：（1）取AC中點D，連接A₁D，則A₁D⊥AC．
又∵側(cè)面ACC₁A₁與底面ABC垂直，交線為AC，
∵A₁D⊥面ABC（2分）
∴A₁D⊥BC．
假設(shè)AA₁與平面A₁BC垂直，則A₁D⊥BC．
又A₁D⊥BC，由線面垂直的判定定理，
BC⊥面A₁AC，所以BC⊥AC，這樣在△ABC中
有兩個直角，與三角形內(nèi)角和定理矛盾．假設(shè)不
成立，所以AA₁不與平面A₁BC垂直（5分）

（2）側(cè)面BB₁C₁C與底面ABC所成的銳二面角即為側(cè)面BB₁C₁C與A₁B₁C₁底面所成的銳二面角．
過點C作A₁C₁的垂線CE于E，則CE⊥面A₁B₁C₁，B₁C₁⊥CE．
過點E作B₁C₁的垂線EF于F，連接CF．
因為B₁C₁⊥EF，B₁C₁⊥CE，所以B₁C₁⊥面EFC，B₁C₁⊥CF
所以∠CFE即為所求側(cè)面BB₁C₁C與地面A₁B₁C₁所成的銳二面角的平面角（9分）
由CE=

3

，EF=

2

，得CF=

5

在Rt△ABC中，cos∠CFE=

2

5

=

10

5

所以，側(cè)面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值為

10

5

（12分）

點評：本題考查直線與直線的垂直的判定，二面角的余弦值，考查空間想象能力，邏輯思維能力，幾何問題代數(shù)化，是中檔題．