Question

已知函數f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的導函數．
（1）求函數F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²的最大值和最小正周期；
（2）若f（x）=2f'（x），求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求函數F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²的最大值和最小正周期，必須先求f（x）的導數，再進行化簡F（x）．再決定如何求最值和周期．
（2）根據f（x）=2f'（x），易得；再求的值，可以采用“齊次化切法”．
解答：解：（1）已知函數f（x）=sinx+cosx，則f′（x）=cosx-sinx．
代入F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²
易得

當時，
最小正周期為
（2）由f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx=2cosx-2sinx．
解得
∴；
答：（1）函數F（x）的最大值為，最小正周期為π；
（2）的值為．
點評：求f（x）的導數，必須保證求導的準確，要熟記求導公式．已知tanx=a，求其它三角函數代數式的值，常常采用“齊次化切法”．