Question

設函數.

（1）當，時，求函數的最大值；

（2）令，其圖象上存在一點，使此處切線的斜率，求實數的取值范圍；

（3）當，時，方程有唯一實數解，求正數的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數的最大值為；（2）實數的取值范圍是；（3）.

【解析】

試題分析：（1）將，代入函數的解析式，然后利用導數求出函數的最大值；（2）先確定函數的解析式，并求出函數的導數，然后利用導數的幾何意義將問題轉化為，利用恒成立的思想進行求解；（3）方法一是利用參數分離，將問題轉化為方程、有且僅有一個實根，然后構造新函數，利用導數求出函數的極值從而求出參數的值；方法二是直接構造新函數，利用導數求函數的極值，并對參數的取值進行分類討論，從而求出參數的值.

試題解析：（1）依題意，的定義域為，

當，時，，，

由 ，得，解得；

由 ，得，解得或.

，在單調遞增，在單調遞減；

所以的極大值為，此即為最大值；

（2），，則有在上有解，

∴，

，

所以當時，取得最小值，；

（3）方法1：由得，令，，

令，，∴在單調遞增，

而，∴在，，即，在，，即，

∴在單調遞減，在單調遞增，

∴極小值為，令，即時方程有唯一實數解.

方法2：因為方程有唯一實數解，所以有唯一實數解，

設，則，令，

因為，，所以（舍去），，

當時，，在上單調遞減，

當時，，在上單調遞增，

當時，取最小值.

若方程有唯一實數解，

則必有 即 

所以，因為所以              12分

設函數，因為當時，是增函數，所以至多有一解.

∵，∴方程(*)的解為，即，解得.

考點：1.利用導數求函數的最值；2.函數不等式恒成立；3.參數分離法；4.分類討論法；4.函數的零點