Question

如圖，第1個圖是正三角形，將此正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦去中間一段，得第2個圖，如此繼續下去，得第3個圖，…，用a_n示第n圖的邊數，則數列{a_n}前n項的和S_n等于

4ⁿ-1

．

Answer 1

分析：根據圖形，可得

an

an-1

=4（n≥2），利用等比數列的定義，可得數列的通項，從而可求數列的和．

解答：解：由題意知：a₁=3，a₂=12，a₃=48
∴每一條邊經一次變化后總變成四條邊，即

an

an-1

=4（n≥2），
由等比數列的定義知：a_n=3×4^n-1
∴S_n=

3×(1-4n)

1-4

=4ⁿ-1
故答案為：4ⁿ-1

點評：本題考查了等比數列的前n項和，考查對圖形的閱讀能力，屬于中檔題．