Question

【題目】設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1=2，an+1=Sn+2．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
（2）令bn=（2n﹣1）an ， 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=2，an+1=Sn+2．

∴a2=4，n≥2時(shí)，an=Sn﹣1+2，可得an+1﹣an=an，即an+1=2an，n=1時(shí)也滿足．

∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．

∴an=2n．

（2）解：bn=（2n﹣1）an=（2n﹣1）2n．

∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=2+3×22+…+（2n﹣1）2n，

2Tn=22+3×23+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1，

∴﹣Tn=2+2（22+23++…+2n）﹣（2n﹣1）2n+1=2× ﹣2﹣（2n﹣1）2n+1=（3﹣2n）2n+1﹣6，

∴Tn=（2n﹣3）2n+1+6

【解析】（1）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）bn=（2n﹣1）2n ． 利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．