Question

3．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底邊長為2，E，F分別為BB₁，AB的中點．
（ I）已知M為線段B₁A₁上的點，且B₁A₁=4B₁M，求證：EM∥面A₁FC；
（ II）若二面角E-A₁C-F所成角的余弦值為$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，求AA₁的值．

Answer 1

分析 （I）取B₁A₁中點為N，連結BN，推導出BN∥A₁F，從而EM∥BN，進而EM∥A₁F，由此能證明EM∥面A₁FC．
（II）以F為坐標原點建立空間直角坐標系，設AA₁=a，利用向量法能求出結果．

解答 證明：（I）取B₁A₁中點為N，連結BN，
則BN∥A₁F，又B₁A₁=4B₁M，
則EM∥BN，所以EM∥A₁F，
因為EM?面A₁FC，A₁F?面A₁FC，
故EM∥面A₁FC．
解：（II）如圖，以F為坐標原點建立空間直角坐標系，設AA₁=a．
則$F（0，0，0），{A_1}（-1，0，a），E（1，0，\frac{a}{2}），C（0，\sqrt{3}，0）$，
$\overrightarrow{EC}=（-1，\sqrt{3}，-\frac{a}{2}），\overrightarrow{FC}=（0，\sqrt{3}，0），\overrightarrow{{A_1}E}=（2，0，-\frac{a}{2}），\overrightarrow{{A_1}C}=（1，\sqrt{3}，-a）$，
設平面A₁CF法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
設平面A₁CE法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$．
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{{A_1}C}•\overrightarrow m=x+\sqrt{3}y-az=0\\ \overrightarrow{FC}•\overrightarrow m=\sqrt{3}y=0\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow m=（a，0，1）$，
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{{A_1}C}•\overrightarrow n=x+\sqrt{3}y-az=0\\ \overrightarrow{{A_1}E}•\overrightarrow n=2x-\frac{a}{2}z=0\end{array}\right.$，取x=a，得$\overrightarrow n=（a，\sqrt{3}a，4）$；
設二面角E-A₁C-F的平面角為θ，
∵二面角E-A₁C-F所成角的余弦值為$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
∴$cosθ=cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{{{a^2}+4}}{{\sqrt{{a^2}+1}•\sqrt{4{a^2}+16}}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
整理，得a²=$\frac{4}{3}$，∴a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故當二面角E-A₁C-F所成角的余弦值為$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$時，AA₁的值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查滿足條件的線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．