Question

已知雙曲線的實軸為A₁A₂，虛軸為B₁B₂，將坐標系的右半平面沿y軸折起，使雙曲線的右焦點F₂折至點F，若點F在平面A₁B₁B₂內的射影恰好是該雙曲線的左頂點A₁，且直線B₁F與平面A₁B₁B₂所成角的正切值為，則a=________．

Answer 1

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分析：由題意可得直線B₁F與平面A₁B₁B₂所成角為∠FB₁A₁，可得==，求得 FA₁ 的值，
直角三角形FA₁O 中，由勾股定理可得 FO²=A₁O²+FA₁²，由此求出a 的值．
解答：如圖所示：由題意可得 實軸A₁A₂ =4，B₁B₂，=2，FA₁⊥面A₁B₁B₂，
直線B₁F與平面A₁B₁B₂所成角為∠FB₁A₁．
∴==，∴FA₁=．
又FO=c=，A₁O=2．直角三角形FA₁O 中，由勾股定理可得 FO²=A₁O²+FA₁²，
即4+a=4+，解得 a=1．
故答案為：1．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質，直線和平面所成的角，體現了數形結合的數學思想，屬于
中檔題．