Question

已知函數f（x）=x³+x
①判斷f（x）的奇偶性；
②證明f（x）在（-∞，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：①根據奇偶性的定義，判斷f（-x）與f（x）之間的關系，即可判斷函數f（x）的奇偶性；
②利用原始的定義進行證明，在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，只要證f（x₂）＞f（x₁）就可，把x₁和x₂分別代入函數f （x）=-x³+x進行證明．

解答：解：①函數f（x）為奇函數．
因為f（-x）=（-x）³+（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），
所以f（x）為奇函數．
②任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁³+x₁）-（x₂³+x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+（x₁-x₂）=（x₁-x₂）[（x₁+

1

2

x₂）²+

3

4

x22+1]，
由x₁＜x₂，得x₁-x₂＜0，（x₁+

1

2

x₂）²+

3

4

x22+1＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以，函數f（x）在R上是增函數．

點評：此題主要考查函數的奇偶性和單調性，解題的關鍵是利用定義進行證明，是一道基礎題．