Question

已知函數f(x)＝log₄(4^x＋1)＋kx(k∈R)為偶函數．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝log₄(a·2^x－a)有且只有一個根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

(1)   (2) a的取值范圍為{a|a>1或a＝－2－2}

解：(1)∵f(x)為偶函數，∴f(－x)＝f(x)，
即log₄(4^－x＋1)－kx＝log₄(4^x＋1)＋kx，
即(2k＋1)x＝0，∴k＝－.
(2)依題意令log₄(4^x＋1)－x＝log₄ (a·2^x－a)，
即
令t＝2^x，則(1－a)t²＋at＋1＝0，只需其有一正根即可滿足題意．
①當a＝1時，t＝－1，不合題意，舍去．
②上式有一正一負根t₁，t₂，
即
經驗證滿足a·2^x－a>0，∴a>1.
③上式有兩根相等，即Δ＝0⇒a＝±2－2，此時t＝，若a＝2(－1)，則有t＝<0，此時方程(1－a)t²＋at＋1＝0無正根，故a＝2(－1)舍去；
若a＝－2(＋1)，則有t＝>0，且a· 2^x－a＝a(t－1)＝a＝>0，因此a＝－2(＋1)．
綜上所述，a的取值范圍為{a|a>1或a＝－2－2}．