Question

已知m，n，t均為實數，[u]表示不超過實數u的最大整數，若

mx2+nx+t

-x+[x]-2

≤0對任意實數x恒成立，且m（1-P）+n（1+P）+t=0（n＞m＞0），則實數P的最大值為

 

．

Answer 1

分析：要求P的最大值，必須構造P=

m+n+t

m-n

的函數來求，然后利用多元函數最值的方法來求即可．

解答：解：由題意知：
  對任意實數X恒成立
∵[x]≤x∴分母-x+[x]-2必小于0
  即對任意實數x恒成立．
 所以n²-4mt≤0 
 即

t

n

≥

n

4m

而n＞m＞0   所以 t＞0；

m

n

-1＜0
又P=

m+n+t

m-n

=

m n +1+ t n

m n -1

≤

m n +1+ n 4m

m n -1

=

m2+mn+ 1 4 n2

m2-mn

=

1+ n m + 1 4 ( n m )2

1- n m

（*）

  令s=

n

m

  故s＞1
∴（*）=

1+s+ 1 4 s2

1-s

=-

1+s+ 1 4 s2

s-1

=-

1 4 (s-1)2+ 3 2 (s-1)+ 9 4

s-1

=-[

1

4

(s-1)+

9

4

•

1

s-1

]-

3

2

≤-2

1 4 • 9 4

-

3

2

=-3
   故答案為-3

點評：本題總體對學生來說還是比較有難度的，主要考查多元函數最值問題，化多元函數為一元函數的思想方法，屬于難題．