Question

已知函數f（x）=x²+alnx+

2

x

在[1，+∞）上是單調遞增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：通過已知條件，求出函數的導數，轉化導數大于等于0恒成立，得到a的表達式，求出a的最小值即可．

解答：解：由函數f（x）=x²+alnx+

2

x

，得f′（x）=2x+

a

x

-

2

x2

．（4分）
若函數f（x）為[1，+∞）上的單調增函數，則f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2x+

a

x

-

2

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立．也即a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立．（8分）
又h(x)=

2

x

-2x2在[1，+∞）上為減函數，h（x）_max=h（1）=0．所以a≥0．（12分）

點評：本題考查函數與導函數的關系，函數的單調性與導數的關系，通過函數的導數求解函數最值，考查轉化思想與計算能力．