Question

如圖，已知?ABCD，直線BC⊥平面ABE，F為CE的中點．
（1）求證：直線AE∥平面BDF；
（2）若∠AEB=90°，求證：平面BDF⊥平面BCE．

Answer 1

分析：（1）欲證AE∥平面BFD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證AE與平面BFD內一直線平行，設AC∩BD=G，連接FG，
根據中位線定理可知FG∥AE，而AE?平面BFD，FG?平面BFD，滿足定理所需條件；
（2）欲證平面DBF⊥平面BCE，根據面面垂直的判定定理可知在平面DBF內一直線與平面BCE垂直，根據線面垂直的判定定理可證得直線AE⊥平面BCE，而FG∥AE，則直線FG⊥平面BCE，而直線FG?平面DBF，滿足定理條件．

解答：證明：（1）設AC∩BD=G，連接FG．
由四邊形ABCD為平行四邊形，得G是AC的中點．
又∵F是EC中點，∴在△ACE中，FG∥AE．（3分）
∵AE?平面BFD，FG?平面BFD，∴AE∥平面BFD；（6分）
（2）∵∠AEB=

π

2

，∴AE⊥BE．
又∵直線BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC．
又BC∩BE=B，∴直線AE⊥平面BCE．（8分）
由（1）知，FG∥AE，∴直線FG⊥平面BCE．（10分）
又直線FG?平面DBF，∴平面DBF⊥平面BCE．（14分）

點評：本題主要考查了線面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理，同時考查了空間想象能力，推理論證的能力，屬于基礎題．