Question

已知直線l過點M（-3，-3），圓N：x²+y²+4y-21=0，l被圓N所截得的弦長為4

5

．
（1）求點N到直線l的距離；
（2）求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設直線l與圓N交于A和B兩點，過N作ND垂直于AB，根據垂徑定理得到D為AB中點，把圓N的方程化為標準方程，找出圓心N的坐標和半徑r，由|AB|的長，得到|DB|的長，再由半徑r的值，利用勾股定理求出|ND|的長，即為N到直線l的距離；
（2）若直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x=-3，求出此時|AB|的長，發現與已知的弦長不相等，推出矛盾，故直線l的斜率存在，設直線l的斜率為k，再根據直線l過M點，表示出直線l的方程，由（1）得到N到直線l的距離，再利用點到直線的距離公式表示出圓心N到設出的直線l的距離，進而列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出直線l的方程．

解答：解：（1）設直線l與圓N交于A，B兩點（如圖）
作ND⊥AB交直線l于點D，顯然D為AB的中點，…（2分）
由x²+y²+4y-21=0化為標準方程得：x²+（y+2）²=25，
∴圓心N（0，-2），r=5，…（4分）又|AB|=4

5

，
∴|ND|=

r2-( |AB| 2 )2

=

5

，即點N到直線l的距離為

5

；…（6分）
（2）若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-3，
∴N到l的距離為3，又圓N的半徑為5，
易知

|AB|

2

=4，即|AB|=8≠4

5

，不符合題意，
故直線l的斜率存在；…（8分）
于是設直線l的方程為：y+3=k（x+3），即kx-y+3k-3=0，
∴圓心N（0，-2）到直線l的距離d=

|-(-2)+3k-3|

1+k2

=

|3k-1|

1+k2

，①
由（1）知，d=

5

，②…（10分）
由①②可以得到k=2，或k=-

1

2

，
則直線l的方程為2x-y+3=0或x+2y+9=0．…（12分）

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，直線的點斜式方程，利用了分類討論及數形結合的數學思想，是一道綜合性較強的中檔題．當直線與圓相交時，常常由作出弦心距，利用垂徑定理得到垂足為弦的中點，進而由弦心距，弦長的一半及圓的半徑構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．