Question

已知函數f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈（0，+∞）．
（1）當a=

1

2

時，求函數f（x）的最小值；
（2）若對于任意的x∈（0，+∞），f（x）＞6恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=

1

2

代入函數式，展開后利用基本不等式可求得最小值；
（2）對于任意的x∈（0，+∞），f（x）＞6恒成立，等價于x²-4x+a＞0恒成立，轉化為求x²-4x+a的最小值即可；

解答：解：（1）當a=

1

2

時，f（x）=

x2+2x+ 1 2

x

=x+

1

2x

+2≥2

x• 1 2x

+2=

2

+2，
當且僅當x=

1

2x

即x=

2

2

時取等號，
所以函數f（x）的最小值為

2

+2；
（2）當x∈（0，+∞）時，f（x）＞6即

x2+2x+a

x

＞6，亦即x²-4x+a＞0恒成立，
而x²-4x+a=（x-2）²+a-4≥a-4，
所以問題等價于a-4＞0，解得a＞4，
所以實數a的取值范圍是a＞4．

點評：本題考查函數恒成立問題、基本不等式求函數的最值，考查轉化思想，考查學生解決問題的能力．