Question

若y=3^|x|（x∈[a，b]）的值域為[1，9]，則a²+b²-2a的取值范圍是（ ）
A．[2，4]
B．[4，6]
C．
D．[4，12]

Answer 1

【答案】分析：先在坐標系中作出函數y=3^|x|的圖象，由圖象和題意求出a、b的范圍，再分別代入式子a²+b²-2a進行化簡，并且結合它們的范圍求出式子a²+b²-2a的取值范圍．
解答：解：在坐標系中作出函數y=3^|x|的圖象，
∵y=3^|x|（x∈[a，b]）的值域為[1，9]，
∴由圖得，函數的最小值是f（0）=1，最大值應是f（a）或f（b），
∵a＜b，∴由兩種情況：a=-2，0≤b≤2或b=2，-2≤a≤0，
當a=-2，0≤b≤2時，設d=a²+b²-2a=8+b²，∵0≤b≤2，∴0≤b²≤4，
∴8≤d≤12，
當b=2，-2≤a≤0時，d=a²+b²-2a=3+（a-1）²
∵-2≤a≤0，∴1≤（a-1）²≤9，
∴4≤d≤12；
綜上得，a²+b²-2a的取值范圍是[4，12]．
故選D．
點評：本題考查了指數函數的圖象以及性質，即根據指數函數的圖象作出題中函數的圖象，由圖和函數的值域求取定義域，在求出所求式子的取值范圍，考查了數形結合思想．