Question

在一次射擊比賽中，某人向目標射擊4次，每次擊中目標的概率為

2

3

，該目標分為紅、藍、黃三個區域，三個區域面積之比為2：3：5，擊中目標時，擊中任何一部分的概率與其面積成正比．
（1）設X表示目標被擊中的次數，求X的分布列及數學期望；
（2）若目標被擊中2次，A表示事件“紅色區域至少被擊中1次或藍色區域被擊中2次”，求P（A）．

Answer 1

分析：（1）由題意知目標被擊中的次數X的取值是0、1、2、3、4，當X=0時表示四次射擊都沒有擊中，當X=1時表示四次射擊擊中一次，以此類推，理解變量取值不同時對應的事件，用獨立重復試驗概率公式得到概率，寫出分布列，算出數學期望；
（2）紅色區域至少被擊中1次或藍色區域被擊中2次所表示的事件，記出事件，根據事件之間的互斥關系，表示出事件，用相互獨立事件同時發生和互斥事件的概率公式，得到結果．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，X的取值為0，1，2，3，4．
P（X=0）=

C

0 4

(

1

3

)4=

1

81

，P（X=1）=

C

1 4

(

1

3

)3(

2

3

)=

8

81

．
P（X=2）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

，P（X=3）=

C

3 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

．
P（X=4）=

C

4 4

(

2

3

)4=

16

81

．    …（4分）
即X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

…（5分）
EX=4×

2

3

=

8

3

．    …（6分）
（Ⅱ）設A₁表示事件“第一次擊中目標時，擊中紅色區域”，A₂表示事件“第二次擊中目標時，擊中藍色區域”，B₁表示事件“第二次擊中目標時，擊中紅色區域”，B₂表示事件“第二次擊中目標時，擊中藍色區域”
依題意可知P（A₁）=P（B₁）=0.2，P（A₂）=P（B₂）=0.3．…（8分）
A=A₁

.

B1

∪

.

A1

B₁∪A₁B₁∪A₂B₂
∴P（A）=P（A₁

.

B1

）+P（

.

A1

B₁）+P（A₁B₁）+P（A₂B₂）
=0.2×0.8+0.8×0.2+0.2×0.2+0.3×0.3
=0.45．    …（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量和相互獨立事件的概率以及互斥事件的概率，解決離散型隨機變量分布列問題時，主要依據概率的有關概念和運算，同時還要注意題目中離散型隨機變量服從什么分布．