Question

已知函數(shù)f（x）=ln

1+x

1-x

+sinx，則關(guān)于a的不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0的解集是

（

3

，2）

．

Answer 1

分析：由

1+x

1-x

＞0，求得函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）．再根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，不等式即 f（a-2）＜-f（a²-4）=f（4-a²）．函數(shù)f（x）在其定義域上單調(diào)遞增，可得

-1＜a-2＜1 -1＜a2-4＜1 a-2＜4-a2

，從而求得不等式的解集．

解答：解：由

1+x

1-x

＞0，求得-1＜x＜1，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）．
再根據(jù)函數(shù)滿足f（-x）=ln（

1-x

1+x

）+sin（-x）=-ln

1+x

1-x

-sinx=-f（x），可得函數(shù)為奇函數(shù)，
故關(guān)于a的不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0，即 f（a-2）＜-f（a²-4）=f（4-a²）．
再由函數(shù)

1+x

1-x

、sinx在的定義域（-1，1）上單調(diào)遞增，可得函數(shù)f（x）在其定義域上單調(diào)遞增，可得 

-1＜a-2＜1 -1＜a2-4＜1 a-2＜4-a2

，
解得

3

＜a＜2，
故答案為 （

3

，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)的定義域、函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．