Question

設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換．
（Ⅰ）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩陣M^-1以及橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出矩陣M，然后利用特征多項式建立方程求出它的特征值，最后分別求出特征值所對應的特征向量；
（Ⅱ）先求出矩陣M的逆矩陣，然后利用點在矩陣M^-1的作用下的點的坐標，化簡代入橢圓方程求出新的曲線方程．

解答：解：（Ⅰ）由條件得矩陣M=

2 0 0 3

，
利用特征多項式求出它的特征值為2和3，
對應的特征向量為

1 0

及

0 1

；
（Ⅱ）M-1=

1 2 0 0 1 3

，
橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程為x²+y²=1．

點評：本題主要考查了特征值與特征向量的計算，以及逆變換與逆矩陣，屬于基礎題．