Question

已知圓錐的高為1，軸截面頂角為120°時，過圓錐頂點的截面中，最大截面面積為（　　）

• A．

  3

• B．2

  3

• C．2
• D．1

Answer 1

分析：作出過圓錐頂點的截面，設出底面圓心到截面底邊的距離x，把截面面積用x表示，然后利用基本不等式求其最值．

解答：解：如圖，過圓錐頂點P認作一截面PAB，交底面圓與AB，過O作AB的垂線OF，垂足為F，交底面圓周與E，
因為圓錐軸截面的頂角為120°，則∠OPE=60°，又圓錐PO的高PO=1，在直角三角形POE中，有OE=tan60°=

3

，
即圓錐底面半徑為3，所以OA=OE=

3

，設OF=x，則AF=

( 3 )2-x2

=

3-x2

，
在直角三角形POF中，PF=

12+x2

=

1+x2

，
所以，S△PAB=

1

2

AB•PF=AF•PF=

3-x2

•

1+x2

≤

(3-x2)+(1+x2)

2

=2．
當且僅當3-x²=1+x²，即x=1時“=”成立．
所以，過圓錐頂點的截面中，最大截面面積為2．
故選C．

點評：本題考查了棱錐的結構特征，考查了利用基本不等式求最值，學生解答此題時容易出錯，往往不假思索的認為截面積最大的是軸截面，該題是否是軸截面面積最大取決于軸截面的頂角，此題是基礎題．