Question

選修4-5；不等式選講．
當n＞2時，求證：log_n（n-1）log_n（n+1）＜1．

Answer 1

分析：由n＞2，可得lo

g

(n-1) n

＞0，lo

g

(n+1) n

＞0，且lo

g

(n-1) n

≠lo

g

(n+1) n

，再利用基本不等式即可證明．

解答：解：∵n＞2，∴lo

g

(n-1) n

＞0，lo

g

(n+1) n

＞0，且lo

g

(n-1) n

≠lo

g

(n+1) n

，
∴lo

g

(n-1) n

×lo

g

(n+1) n

＜(

lo g (n-1) n +lo g (n+1) n

2

)2=(

lo g (n2-1) n

2

)2＜(

lo g n2 n

2

)2=(

2

2

)2=1，
∴當n＞2時，log_n（n-1）log_n（n+1）＜1．

點評：本題考查了對數函數的性質和基本不等式的應用，深刻理解以上知識及放縮法是解決問題的關鍵．