Question

設雙曲線（a，b＞0）兩焦點為F₁、、F₂，點Q為雙曲線上除頂點外的任一點，過焦點F₂作∠F₁QF₂的平分線的垂線，垂足為M，則M點軌跡是（ ）
A．橢圓的一部分
B．雙曲線的一部分
C．拋物線的一部分
D．圓的一部分

Answer 1

【答案】分析：先作圖，不妨設Q在雙曲線的右支，延長F₂M交QF₁于P，在△QF₁F₂中有|QP|=|QF₂|，再由雙曲線的定義得QF₁|-|QP|=2a即|PF₁|=2a，然后由圓的定義得到結論．
解答：解：不妨設Q在雙曲線的右支，延長F₂M交QF₁于P，
在△QF₁F₂中，QM既是角平分線又是高，故|QP|=|QF₂|，
又|QF₁|-|QF₂|=2a，∴|QF₁|-|QP|=2a即|PF₁|=2a，
在△PF₁F₂中，MO是中位線，∴|MO|=a，
∴M點軌跡是圓的一部分
故選D．
點評：本題主要是考查數形結合的解題方法，在過程中又考查了雙曲線和圓的定義．