Question

11．已知函數f（x）=x+$\frac{m}{x}$的圖象過點P（1，5）．
（Ⅰ）求實數m的值，并證明函數f（x）是奇函數；
（Ⅱ）利用單調性定義證明f（x）在區間[2，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入點P，求得m，再由奇函數的定義，即可得證；
（Ⅱ）根據單調性的定義，設值、作差、變形、定符號和下結論即可得證．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=x+\frac{m}{x}$的圖象過點P（1，5），
∴5=1+m，
∴m=4…（2分）
∴$f（x）=x+\frac{4}{x}$，f（x）的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，…（4分）
$f（x）=x+\frac{4}{x}$$又f（{-x}）=-x-\frac{4}{x}$∴f（x）=-f（x），…（6分）
f（x）是奇函數．…（7分）
（Ⅱ）證明：設x₂＞x₁≥2，
則$f（{x_2}）-f（{x_1}）={x_2}-{x_1}+\frac{4}{x_2}-\frac{4}{x_1}=（{{x_2}-{x_1}}）（{1-\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}}）=（{{x_2}-{x_1}}）\frac{{{x_1}{x_2}-4}}{{{x_1}{x_2}}}$（10分）
又x₂-x₁＞0，x₁≥2，x₂＞2，∴x₁x₂＞4…（12分）
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
即f（x）在區間[2，+∞）上是增函數…（15分）

點評 本題考查函數的奇偶性的判斷和證明，注意運用定義法，考查推理和運算能力，屬于基礎題．