Question

已知函數f（x）=a^x+（a＞1）.

（1）求證：f（x）在（-1，+∞）上為增函數；

（2）若a=3，求方程f（x）=0的正根（精確到0.01）.

Answer 1

解析:問題（1）可依據增函數定義通過作差通分來求證，問題（2）可以通過用二分法，根據題目精確度的要求，只需進行有限次的重復運算便可得解，求出方程f（x）=0的正根.

（1）證明：任取x₁、x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，

    則x₂-x₁＞0，＞1，且a^x1＞0，

∴＞0，

又∵x₁+1＞0，x₂+1＞0，

∴-=＞0，

    于是f（x₂）-f（x₁）=+-＞0，

    故函數f（x）在（-1，+∞）上為增函數.

（2）解：由（1）知，當a=3時，f（x）=3^x+也在（-1，+∞）上為增函數，故在（0，+∞）也單調遞增，因此f（x）=0的正根僅有一個，以下用二分法求這一正根.由于f（0）=-1＜0，f（1）=＞0，取［0，1］為初始區間，用二分法逐次計算，列出下表：

區  間	中  點	中點函數值
［0，1］	0.5	0.732
［0，0.5］	0.25	-0.084
［0.25，0.5］	0.375	0.322
［0.25，0.375］	0.312 5	0.124
［0.25，0.312 5］	0.281 25	0.021
［0.25，0.281 25］	0.265 6	-0.032
［0.265 6，0.281 25］	0.273 43	-0.005 52
［0.273 43，0.28 125］

    由于區間［0.273 43，0.281 25］的長度為0.007 82＜0.01，所以這一區間的兩個端點的近似值0.28就是方程的根的近似值，即原方程的正根是0.28.