Question

（本小題滿分10分）

已知函數f(x)=|x-a|.

(1)若不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},求實數a的值;

(2)在(1)的條件下,若f(x)+f(x+5)≥m對一切實數x恒成立,求實數m的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) a=2   (2) (-∞,5).

【解析】

試題分析：解法一:(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3.

又已知不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},

所以解得a=2.

(2)當a=2時,f(x)=|x-2|.設g(x)=f(x)+f(x+5),

于是g(x)=|x-2|+|x+3|=

所以當x<-3時,g(x)>5;當-3≤x≤2時,g(x)=5;當x>2時,g(x)>5.

綜上可得,g(x)的最小值為5.

從而,若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m對一切實數x恒成立,

則m的取值范圍為(-∞,5］.

解法二:(1)同解法一.

(2)當a=2時,f(x)=|x-2|,設g(x)=f(x)+f(x+5).

由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(當且僅當-3≤x≤2時等號成立)得,g(x)的最小值為5.

從而,若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m對一切實數x恒成立,

則m的取值范圍為(-∞,5).

考點：絕對值不等式的解法；函數恒成立問題．

點評:本題考查函數恒成立問題，絕對值不等式的解法，考查轉化思想，是中檔題.