Question

（1）求值：（C₂⁰）²+（C₂¹）²+（C₂²）²，C₄²；（C₃⁰）²+（C₃¹）²+（C₃²）²+（C₃³）²，C₆³；
（2）由（1）中計算結果能得到（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²和C_2nⁿ相等嗎，試證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據題意，求出組合數的值，進而依次計算可得答案；
（2）由（1）可以推測：（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²=C_2nⁿ，進而用數學模型進行證明：構造從2n個球中取出n個球的模型，有2種取法，①、直接取，由組合數公式可得其取法，②、將2n個球平均分成2組，每組n個，按取球的個數不同分情況討論，由分類計數原理可得情況取法數目；令兩種取法所得的組合數相等可得證明．

解答：解：（1）根據題意，（C₂⁰）²+（C₂¹）²+（C₂²）²=1+4+1=6，C₄²=6，
（C₃⁰）²+（C₃¹）²+（C₃²）²+（C₃³）²=1+9+9+1=20，C₆³=

6×5×4

3×2×1

=20，
（2）由（1）可以推測：（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²=C_2nⁿ，
用數學模型法證明如下：從2n個球中取出n個，
第一種方法，直接取出，由組合數公式可得，有C_2nⁿ種取法，
另外還有一種取法：將2n個球平均分成2組，每組n個；
從兩組中取出n個球，分n+1種情況討論，1°全部從第2組取得，則從第1組取出0個，有C_nⁿC_n⁰=（C_n⁰）²種，
2°從第1組取1個，則從第2組取出n-1個，有C_n¹C_n^n-1=（C_n¹）²種，
3°從第1組取2個，則從第2組取出n-2個，有C_n²C_n^n-2=（C_n²）²種，
…
n+1°全部從第1組取得，則從第2組取出0個，有C_nⁿC_n⁰=（C_nⁿ）²種，
共有（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²種，
即可得（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²=C_2nⁿ．

點評：本題考查組合數公式的性質與證明，解（2）的關鍵在于構造數學模型，用兩種不同的取球方法得到不同的組合數式子．